jueves, 12 de abril de 2012

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE TLAXCALA
PLANTEL 03

MATERIA: "CALCULO INTEGRAL"

PROFESOR: ROSENDO JIMENEZ ORTEGA

TRABAJO: BLOG "HISTORIA DE CALCULO INTEGRAL"

ALUMNO: JOSUE MUÑOZ NIETO

GRUPO: 613


INTRODUCCION

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.
 
Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.
Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:
  * Las integrales definidas y
  * El Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

CALCULO INTEGRAL


Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.

Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.

Principales objetivos del cálculo integral
Sus principales objetivos a estudiar son:
  * Área de una región plana
  * Cambio de variable
  * Integrales indefinidas
  * Integrales definidas
  * Integrales impropias
  * Integrales múltiples (dobles o triples)
  * Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
  * Métodos de integración
  * Teorema fundamental del cálculo
  * Volumen de un sólido de revolución
.Teoría
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

INTEGRACION
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

 TEORIA
da una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
\int_a^b f(x)\,dx
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x =a y x =b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

CONSTANTE DE INTEGRACION
En cálculo, la integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) se escribe siempre con una constante, la constante de integración.1 2 Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y F es una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F (x) + C, siendo C, una constante arbitraria.

ORIGEN DE LA CONSTANTE
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante. Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:
\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.
Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(x):
{d\over dx}[\sin(x) + C] = {d\over dx}[\sin(x)] + {d\over dx}(C)

= \cos(x) + 0\,

= \cos(x)\,.

INTEGRACION INDEFINIDA
n cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
\int{f}   ó   \int{f(x)dx}
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

EJEMPLO
Una primitiva de la función \scriptstyle f(x)=\cos(x) en \scriptstyle \mathbb{R}, es la función \scriptstyle F(x)=\sin(x) ya que:
\frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)\ \forall x\in\mathbb{R}
Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

INTEGRAL DE RIEMANN STIELTJES
La integral de Riemann-Stieltjes es una extensión del concepto de Integral de Riemann que permite ampliar el potencial de esta herramienta. A diferencia de la integral de Riemann, que depende de una sola función f(x) llamada integrando, la integral de Riemann-Stieltjes depende de dos funciones, el integrando f(x) y una función α(x) llamada integrador.
Para la integral de Riemann-Stieltjes se utiliza el siguiente símbolo: \int_a^b f(x)\, d\alpha(x).

PROPIEDADES
  • Es lineal respecto al integrando y al integrador, es decir, se cumple que:
\int_a^b (c_1f(x) + c_2g(x))\,d\alpha(x) = c_1\int_a^b f(x)\,d\alpha(x) + c_2\int_a^b g(x)\,d\alpha(x)
\int_a^b f(x)\,d(c_1 \alpha (x) + c_2 \beta (x)) = c_1\int_a^b f(x)\,d\alpha(x) + c_2\int_a^b f(x)\,d\beta(x)
  • Al igual que las integrales de Riemann, una integral en un intervalo [a, b] puede separarse en la suma de dos integrales en los intervalos [a, c] y [c, b], con a < c < b:
\int_a^b f(x)\, d\alpha(x) = \int_a^c f(x)\, d\alpha(x) + \int_c^b f(x)\, d\alpha(x)
  • Existe la propiedad de integración por partes: Si f es integrable respecto a α, entonces α es integrable respecto a f y entre ambas integrales existe la siguiente relación:
\int_a^b f(x)\, d\alpha(x) + \int_a^b \alpha(x)\, df(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a).
Nótese que ésta propiedad coincide con la fórmula de integración por partes para integrales de Riemann si el integrador α(x) tiene derivada continua α'(x), caso en el que se puede convertir la integral de Riemann-Stieltjes en la integral de Riemann del producto f(x)α'(x).





EJEMPLOS SOBRE CALCULO UNTEGRAL.




INTEGRALES:

1

integral
derivar
integrar
solución

2

integral
derivar
integrar
integral
derivar
integrar
integral
solución

3

integral del arcotangente
derivar
integrar
integral
solución

AREAS:

1

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
puntos de corte con los ejes
representación gráfica
En segudo lugar se calcula la integral:
área





2

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
representación gráfica
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
punto de corte
integral
derivar
integrar
integral de indefinida
solución


3

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
de presentación de la recta
área de la recta


VOLUMENES:

1

Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y = sen xx = 0x = π
solución

2

Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
volumen

3

Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.
integral
solución

Los orígenes del cálculo se derivan en la antigua geometría griega, debido a grandes matemáticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el cálculo y las culturas en sus avances.

SECCION HUMORISTICA
 1
¿Cuanto es 2 + 2?
Ingeniero : 3.9968743
Físico : 4.000000004 ± 0.00000006
Matemático : Espere, solo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando...
Filósofo : ¿Qué quiere decir 2+2 ?
Logico : Defina mejor 2+2 y le responderé.


 2
Sabemos que en 6 años el niño será 5 veces menor que su madre. Por lo que podemos deducir la siguiente ecuación:

5 (X+6) = Y+6
Reemplazamos Y por X + 21 y procedemos a despejar:
5 (X+6) = X + 21 + 6
5X + 30 = X + 27
5X - X = 27 - 30
4X = -3
X = -3/4
El niño tiene hoy - 3/4 de año, lo que es igual a menos 9 meses.

Matemáticamente hemos logrado demostrar que a la madre, en este momento, le están haciendo el amor.

Resultado:

El padre está encima de la madre.

 3
En una fiesta de funciones está bailando
"seno de x" con "coseno de x", "Seno de x" se da cuenta de que "e a la x" está sentado solo a un costado de la pista. Entonces se le acerca amigablemente y le dice:
- Ven a bailar ¡INTEGRATE! - y el le responde apesadumbrado:
- ¿Para qué? Si da igual.

 4

Las mujeres tienen pasión por el cálculo: dividen su edad por dos, doblan el precio de sus vestidos, triplican el sueldo de sus maridos y añaden cinco años a la edad de su mejor amiga’.


"LAS MATEMATICAS SON FACILES SOLO PRONPONTE A TI MISMO PODER REALIZARLAS Y CREARLAS"