tag:blogger.com,1999:blog-81769040051780194762024-03-08T02:54:45.179-08:00HISTORIA DE CALCULO INTEGRALJosué Muñoz http://www.blogger.com/profile/16883797755681257525noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-8176904005178019476.post-61238541512979524382012-04-12T11:49:00.002-07:002012-05-20T12:13:34.481-07:00<div class="js-messagebox" id="mw-js-message" style="display: none;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #073763; font-family: Verdana,sans-serif;"><b>COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE TLAXCALA</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: #073763; font-family: Verdana;">PLANTEL 03</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: #b45f06; font-family: Verdana;">MATERIA: "CALCULO INTEGRAL"</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: #bf9000; font-family: Verdana;">PROFESOR: ROSENDO JIMENEZ ORTEGA</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: #38761d; font-family: Verdana;">TRABAJO: BLOG "HISTORIA DE CALCULO INTEGRAL"</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: #134f5c; font-family: Verdana;">ALUMNO: JOSUE MUÑOZ NIETO</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: #351c75; font-family: Verdana;">GRUPO: 613</span></b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<img height="231" id="il_fi" src="http://iguerrero.files.wordpress.com/2010/08/integral1.jpg" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="299" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;"><b>INTRODUCCION</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;">El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama
de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es
muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza
principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.<br />
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René
Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos
de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental
del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son
procesos inversos.<br /><br />
La integral definida de una función representa el área limitada por la
gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores
positivos y negativo cuando toma valores negativos.</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">
</span></b><b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;"> </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;">Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación,
pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se
obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la
clase de Cálculo II.</span></b><br /><b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;">
Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:</span></b><br /><b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;">
* Las integrales definidas y</span></b><br /><b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;">
* El Teorema Fundamental del Cálculo Integral</span></b><br /><b><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;">
Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá
llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado
claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.</span></b></div>
<span style="color: black;"><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span></span><br />
<div align="center">
<b><span style="color: #351c75; font-family: Verdana,sans-serif;">CALCULO INTEGRAL</span></b></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt; text-align: justify;">
<a href="http://iguerrero.files.wordpress.com/2010/09/cintegral2.gif?w=510" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="236" id="il_fi" src="http://iguerrero.files.wordpress.com/2010/09/cintegral2.gif?w=510" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="320" /></a><span style="color: #444444; font-family: "Georgia","serif"; font-size: x-small; line-height: 115%;"><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>Los creadores del
Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los
problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la
mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se
evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral
surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía
prácticamente a la <span class="ilad"><span id="IL_AD4">búsqueda</span></span> de
funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la
dominante.<br />
<br />
El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los
problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional,
la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció
inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes
volúmenes para dar una exposición sistemática de él.<br />
<br />
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la
relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La
operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El <span class="ilad"><span id="IL_AD3">concepto</span></span> primario de tal Cálculo,
por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo
de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de
una <span class="ilad"><span id="IL_AD6">clase</span></span> lo más amplia
posible.<br />
<br />
Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente
pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente
grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias
y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el <span class="ilad"><span id="IL_AD8">marco</span></span> de todos los <span class="ilad"><span id="IL_AD1">cursos</span></span>
y tratados <span class="ilad"><span id="IL_AD2">modernos</span></span> sobre
Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados
de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión
concreta del <span class="ilad"><span id="IL_AD7">famoso</span></span> Cálculo
Integral de Euler y su comparación con los textos actuales. </b></span></span><br />
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Principales objetivos del cálculo integral<br />
Sus principales objetivos a estudiar son:<br />
* Área de una región plana<br />
* Cambio de variable<br />
* Integrales indefinidas<br />
* Integrales definidas<br />
* Integrales impropias<br />
* Integrales múltiples (dobles o triples)<br />
* Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales<br />
* Métodos de integración<br />
* Teorema fundamental del cálculo<br />
* Volumen de un sólido de revolución<br />
.Teoría<br />
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre
la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde
son negativas las áreas por debajo del eje x.</span>
<span style="font-size: x-small;"><br />
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción
de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este
caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales
tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores
mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;">
<b><span style="font-size: x-small;">INTEGRACION</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">La integración es un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivo" title="Concepto primitivo">concepto fundamental</a> de las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a> avanzadas, especialmente en los campos del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo</a> y del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">análisis matemático</a>. Básicamente, una integral es una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Suma" title="Suma">suma</a> de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito" title="Infinito">infinitos</a> sumandos, infinitamente pequeños.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">El cálculo integral, encuadrado en el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo infinitesimal</a>, es una rama de las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>
en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para
el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Fue usado por primera vez por científicos como <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes" title="Arquímedes">Arquímedes</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Gottfried Leibniz</a> e <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaac Barrow</a>. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral" title="Teorema fundamental del cálculo integral">teorema fundamental del cálculo integral</a>, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;"> TEORIA</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">da una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática">función</a> <img alt="f(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/0/b/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png" /> de una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Variable" title="Variable">variable</a> <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">real</a> <img alt="x" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png" /> y un <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1ticas%29" title="Intervalo (matemáticas)">intervalo</a> <img alt="[a,b]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png" /> de la <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real" title="Recta real">recta real</a>, la integral</span></b>
</div>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int_a^b f(x)\,dx " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/a/0/9/a093ff645ed481a57508e44795dd8ad0.png" /></span></b></dd></dl>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">es igual al <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a> de la región del plano <img alt="xy" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/3/e/4/3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png" /> limitada entre la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n" title="Gráfica de una función">gráfica</a> de <img alt="f" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/8/f/a/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png" />, el eje <img alt="x" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png" />, y las líneas verticales <img alt="x =a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/0/a/50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png" /> y <img alt="x =b" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/e/8/9/e89da0c0c73b56b18d920816a6df9829.png" />, donde son negativas las áreas por debajo del eje <img alt="x" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png" />.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de <i>primitiva</i>: una función <i>F</i>, cuya <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> es la función dada <img alt="f" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/8/f/a/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png" />. En este caso se denomina <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida" title="Integral indefinida">integral indefinida</a>, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Los principios de la integración fueron formulados por <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a> y <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a> a finales del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVII" title="Siglo XVII">siglo XVII</a>. A través del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental del cálculo">teorema fundamental del cálculo</a>, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="Derivada">derivación</a>,
y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una
vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a
ser herramientas básicas del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo</a>, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;">
<b><span style="font-size: x-small;">CONSTANTE DE INTEGRACION</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: x-small;">En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo" title="Cálculo">cálculo</a>, la <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida" title="Integral indefinida">integral indefinida</a> de una función dada (es decir, el conjunto de todas las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Primitiva" title="Primitiva">primitivas</a> de la función) se escribe siempre con una constante, la constante de integración.<sup class="reference" id="cite_ref-0"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n#cite_note-0">1</a></sup> <sup class="reference" id="cite_ref-1"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n#cite_note-1">2</a></sup> Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función <i>f</i> está definida en un <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1ticas%29" title="Intervalo (matemáticas)">intervalo</a> y <i>F</i> es una primitiva de <i>f</i>, entonces el conjunto de todas las primitivas de <i>f</i> viene dado por las funciones <i>F</i> (<i>x</i>) + <i>C</i>, siendo <i>C</i>, una constante arbitraria.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: x-small;">ORIGEN DE LA CONSTANTE</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva <i>F</i>, sumándole o restándole una constante <i>C</i> se obtiene otra primitiva, porque (<i>F</i> + <i>C</i>) ' = <i>F</i> ' + <i>C</i> ' = <i>F'</i>. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(<i>x</i>). Otra es sin(<i>x</i>)+1. Una tercera es sin(<i>x</i>)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(<i>x</i>),
por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y
restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar
primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las
primitivas son las mismas con la diferencia de una constante. Para
expresar este hecho para cos(<i>x</i>), se escribe:</span></b></div>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/b/d/1/bd1c8dad7d1fff1fd0630656635274c0.png" /></span></b></dd></dl>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Sustituyendo <i>C</i> por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo <i>C</i> en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(<i>x</i>). <i>C</i> se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(<i>x</i>):</span></b></div>
<table style="font-family: Verdana,sans-serif;"><tbody>
<tr>
<td><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="{d\over dx}[\sin(x) + C]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/6/f/d/6fd5f791c1f8e5aee9c74131b499fd62.png" /></span></b></td>
<td><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="= {d\over dx}[\sin(x)] + {d\over dx}(C)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/3/7/0/370fe745d17601f10505e8d2ceabce5f.png" /></span></b></td>
</tr>
<tr>
<td><b><span style="font-size: x-small;"><br /></span></b></td>
<td><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="= \cos(x) + 0\, " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/7/e/3/7e3ca041a568309a7276a08e25742e1c.png" /></span></b></td>
</tr>
<tr>
<td><b><span style="font-size: x-small;"><br /></span></b></td>
<td><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="= \cos(x)\,." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/9/4/5/9458e9b55b1767bd6e0cb6b691995426.png" /></span></b></td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;">
<b><span style="font-size: x-small;">INTEGRACION INDEFINIDA</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: x-small;">n <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo infinitesimal</a>, la función primitiva o antiderivada de una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática">función</a> <i>f</i> es una función <i>F</i> cuya <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> es <i>f</i>, es decir, <i>F</i> ′ = <i>f</i>.</span></b>
</div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Una condición suficiente para que una función <i>f</i> admita primitivas sobre un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1tica%29" title="Intervalo (matemática)">intervalo</a> es que sea <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua" title="Función continua">continua</a> en dicho intervalo.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Si una función <i>f</i> admite una primitiva sobre un intervalo, admite una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito" title="Infinito">infinidad</a>, que difieren entre sí en una constante: si <i>F</i><sub>1</sub> y <i>F</i><sub>2</sub> son dos primitivas de <i>f</i>, entonces existe un número real <i>C</i>, tal que <i>F</i><sub>1</sub> = <i>F</i><sub>2</sub> + <i>C</i>. A <i>C</i> se le conoce como <i><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n" title="Constante de integración">constante de integración</a></i>. Como consecuencia, si <i>F</i> es una primitiva de una función <i>f</i>, el conjunto de sus primitivas es <i>F</i> + <i>C</i>. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:</span></b></div>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int{f}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/c/8/6/c86d9aaf877db0fc326486bf6d397627.png" /> ó <img alt="\int{f(x)dx}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/c/b/6/cb6d598f62100bc84d1bbd6d505c8c67.png" /></span></b></dd></dl>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Integrales_definidas" title="Integrales definidas">integrales definidas</a> a través del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental del cálculo">teorema fundamental del cálculo</a>, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">EJEMPLO</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Una primitiva de la función <img alt="\scriptstyle f(x)=\cos(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/7/2/1/721b78e9c6a2847bd152be59eaf87604.png" /> en <img alt="\scriptstyle \mathbb{R}," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/4/7/8/478b05542bf7f0b253dbf5990e0d740b.png" /> es la función <img alt="\scriptstyle F(x)=\sin(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/5/6/6/56687153d991239b9b5221df680b560a.png" /> ya que:</span></b></div>
<blockquote style="background-color: white; color: black; font-family: Verdana,sans-serif; margin-bottom: 0.4em; margin-left: 30px; margin-top: 0.2em; min-width: 50%; padding: 5px 10px; text-align: left;">
<b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)\ \forall x\in\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/f/6/1/f619d1dd97ceb353cc1cb0165f1f533c.png" /></span></b><br />
</blockquote>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que <i>cos</i>(<i>x</i>) tendrá un número infinito de primitivas tales como <i>sin</i>(<i>x</i>), <i>sin</i>(<i>x</i>) + 5, <i>sen</i>(<i>x</i>) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cos</i>(<i>x</i>) será de la forma <i>sin</i>(<i>x</i>) + <i>C</i> donde <i>C</i> es una constante conocida como <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n" title="Constante de integración">constante de integración</a>.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif; text-align: center;">
<b><span style="font-size: x-small;">INTEGRAL DE RIEMANN STIELTJES</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">La integral de Riemann-Stieltjes es una extensión del concepto de <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann" title="Integral de Riemann">Integral de Riemann</a> que permite ampliar el potencial de esta herramienta. A diferencia de la integral de Riemann, que depende de una sola función <i>f</i>(<i>x</i>) llamada integrando, la integral de Riemann-Stieltjes depende de dos funciones, el integrando <i>f</i>(<i>x</i>) y una función <i>α</i>(<i>x</i>) llamada integrador.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Para la integral de Riemann-Stieltjes se utiliza el siguiente símbolo: <img alt="\int_a^b f(x)\, d\alpha(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/8/2/6/826a365e1c0401298418432a2b20b735.png" />.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">PROPIEDADES</span></b></div>
<ul style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<li><b><span style="font-size: x-small;">Es <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal" title="Aplicación lineal">lineal</a> respecto al integrando y al integrador, es decir, se cumple que:</span></b></li>
</ul>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int_a^b (c_1f(x) + c_2g(x))\,d\alpha(x) = c_1\int_a^b f(x)\,d\alpha(x) + c_2\int_a^b g(x)\,d\alpha(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/5/9/1597fdcac7cbaf96638987c777d18fac.png" /></span></b></dd></dl>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int_a^b f(x)\,d(c_1 \alpha (x) + c_2 \beta (x)) = c_1\int_a^b f(x)\,d\alpha(x) + c_2\int_a^b f(x)\,d\beta(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/7/f/d/7fd07ae64987f1195591855e65af5898.png" /></span></b></dd></dl>
<ul style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<li><b><span style="font-size: x-small;">Al igual que las integrales de Riemann, una integral en un intervalo [<i>a, b</i>] puede separarse en la suma de dos integrales en los intervalos [<i>a, c</i>] y [<i>c, b</i>], con <i>a < c < b</i>:</span></b></li>
</ul>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int_a^b f(x)\, d\alpha(x) = \int_a^c f(x)\, d\alpha(x) + \int_c^b f(x)\, d\alpha(x)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/a/4/6/a461099599be0aa86a72b393b370de9f.png" /></span></b></dd></dl>
<ul style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<li><b><span style="font-size: x-small;">Existe la propiedad de integración por partes: Si <i>f</i> es integrable respecto a <i>α</i>, entonces <i>α</i> es integrable respecto a <i>f</i> y entre ambas integrales existe la siguiente relación:</span></b></li>
</ul>
<dl style="font-family: Verdana,sans-serif;"><dd><b><span style="font-size: x-small;"><img alt="\int_a^b f(x)\, d\alpha(x) + \int_a^b \alpha(x)\, df(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/1/0/b/10b5277f759e9f4fc2ae2006a91071db.png" />.</span></b></dd></dl>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;">Nótese que ésta propiedad coincide con la fórmula de <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_partes" title="Integración por partes">integración por partes</a> para integrales de Riemann si el integrador <i>α</i>(<i>x</i>) tiene derivada continua <i>α'</i>(<i>x</i>), caso en el que se puede convertir la integral de Riemann-Stieltjes en la integral de Riemann del producto <i>f(x)α'(x)</i>.</span></b></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="font-family: Verdana,sans-serif;">
<b><span style="font-size: x-small;"> </span></b></div>
</div>
<br /><span style="color: black; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: x-small;"><div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: small;"><b>EJEMPLOS SOBRE CALCULO UNTEGRAL.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/IijunvGbUiQ?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div align="left" class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt; text-align: justify;">
</div>
</span><br />
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-family: Times New Roman; font-size: small;">
</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Vxv9sqFeZmk?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b>INTEGRALES:</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<h2 class="v" id="uno" style="font-size: 1.5em;">
1</h2>
<div class="actividades_g">
<img alt="integral" height="40" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/143.gif" width="73" /></div>
<div class="actividades_2_g">
<img alt="derivar" height="31" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/144.gif" width="213" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="integrar" height="33" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/145.gif" width="221" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="solución" height="40" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/146.gif" width="456" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<h2 class="v" id="dos" style="font-size: 1.5em;">
2</h2>
<div class="actividades_g">
<img alt="integral" height="40" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/48.gif" width="85" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="derivar" height="31" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/49.gif" width="245" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="integrar" height="30" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/50.gif" width="235" /></div>
<div class="actividades_2_g">
<img alt="integral" height="40" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/51.gif" width="241" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="derivar" height="31" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/52.gif" width="231" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="integrar" height="30" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/53.gif" width="235" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="integral" height="40" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/54.gif" width="315" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="solución" height="36" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/55.gif" width="391" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<h2 class="v" id="tres" style="font-size: 1.5em;">
3</h2>
<div class="actividades_g">
<img alt="integral del arcotangente" height="40" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/56.gif" width="113" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="derivar" height="51" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/57.gif" width="333" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="integrar" height="30" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/58.gif" width="290" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="integral" height="51" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/59.gif" width="335" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="solución" height="51" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/metodos/images/60.gif" width="271" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v">
<b>AREAS:</b></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<h2 class="v" id="uno" style="font-size: 1.5em;">
1</h2>
<div class="actividades_g">
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x<sup>2</sup> y el eje OX.</div>
<div class="actividades_r">
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.</div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="puntos de corte con los ejes" height="23" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/30.gif" width="343" /></div>
<div class="actividades_2">
<img alt="representación gráfica" height="200" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/31.gif" width="202" /></div>
<div class="actividades_r">
En segudo lugar se calcula la integral:</div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="área" height="56" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/32.gif" width="281" /></div>
<b></b><br />
<b></b><br />
<b></b><br />
<b></b><br />
<b></b><br />
<h2 class="v" id="dos" style="font-size: 1.5em;">
<b>
2</b></h2>
<b>
<div class="actividades_g">
Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.</div>
<div class="actividades_2">
<img alt="representación gráfica" height="143" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/217.gif" width="294" /></div>
<div class="actividades_g">
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.</div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="punto de corte" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/218.gif" width="280" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="integral" height="38" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/219.gif" width="66" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="derivar" height="43" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/220.gif" width="228" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="integrar" height="28" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/221.gif" width="221" /></div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="integral de indefinida" height="35" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/222.gif" width="258" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="solución" height="38" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/223.gif" width="258" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<h2 class="v" id="tres" style="font-size: 1.5em;">
3</h2>
<div class="actividades_g">
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.</div>
<div class="actividades_2">
<img alt="de presentación de la recta" height="200" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/22.gif" width="202" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="área de la recta" height="56" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/21.gif" style="margin-left: 50px;" width="278" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v">
VOLUMENES:</div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<h2 class="v" id="uno" style="font-size: 1.5em;">
1</h2>
<div class="actividades_g">
Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:</div>
<div class="actividades_2_r">
y = sen x<span style="margin-left: 9%;">x = 0</span><span style="margin-left: 9%;">x = π </span></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="solución" height="53" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/49.gif" width="493" /></div>
<h2 class="v" id="dos" style="font-size: 1.5em;">
2</h2>
<div class="actividades_g">
Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.</div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="volumen" height="38" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/127.gif" width="305" /></div>
<h2 class="v" id="tres" style="font-size: 1.5em;">
3</h2>
<div class="actividades_g">
Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.</div>
<div class="actividades_2_r">
<img alt="integral" height="56" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/122.gif" width="471" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<img alt="solución" height="48" src="http://www.vitutor.co.uk/integrales/definidas/images/123.gif" width="323" /></div>
<div class="actividades_2_v">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v">
<span style="font-size: x-small;">Los orígenes del cálculo se derivan en la antigua geometría griega, debido a grandes <span class="ilad"><span id="IL_AD7">matemáticos</span></span> que han influido en el desarrollo que actualmente posee el cálculo y las culturas en sus avances.</span></div>
<div class="actividades_2_v" style="text-align: center;">
<br />
SECCION HUMORISTICA</div>
<div class="actividades_2_v" style="text-align: justify;">
1</div>
<div class="actividades_2_v" style="text-align: justify;">
<span style="color: #674ea7; font-family: Verdana,sans-serif;">¿Cuanto es 2 + 2?<br />Ingeniero : 3.9968743<br />Físico : 4.000000004 ± 0.00000006<br />Matemático : Espere, solo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando...<br />Filósofo : ¿Qué quiere decir 2+2 ?<br />Logico : Defina mejor 2+2 y le responderé. </span><span style="color: #674ea7; font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="color: #674ea7; font-family: Verdana,sans-serif;">
</span></b> <b>2</b><br />
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;"><b>Sabemos que en 6 años el niño será 5 veces menor que su madre. Por lo que podemos deducir la siguiente ecuación:<br /><br />5 (X+6) = Y+6<br />Reemplazamos Y por X + 21 y procedemos a despejar:<br />5 (X+6) = X + 21 + 6<br />5X + 30 = X + 27<br />5X - X = 27 - 30<br />4X = -3<br />X = -3/4<br />El niño tiene hoy - 3/4 de año, lo que es igual a menos 9 meses.<br /><br />Matemáticamente hemos logrado demostrar que a la madre, en este momento, le están haciendo el amor.<br /><br />Resultado:<br /><br />El padre está encima de la madre. </b></span><br />
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;"><b></b></span></div>
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;"><b></b></span> <b>3</b><br />
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;"><span style="color: #b45f06; font-family: Verdana,sans-serif;"><b>En una fiesta de funciones está bailando<br />"seno de x" con "coseno de x",
"Seno de x" se da cuenta de que "e a la x" está sentado solo a un costado de la
pista. Entonces se le acerca amigablemente y le dice: <br />- Ven a bailar
¡INTEGRATE! - y el le responde apesadumbrado:<br />- ¿Para qué? Si da igual. </b></span></span><br />
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;"> <b>4</b><br />
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;"><span style="background-color: #bf9000; font-family: Verdana,sans-serif;">Las mujeres tienen pasión por el cálculo: dividen su edad por dos, doblan el
precio de sus vestidos, triplican el sueldo de sus maridos y añaden cinco años a
la edad de su mejor amiga’.</span></span></div>
<span style="color: #741b47; font-family: Verdana,sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</span><br />
<div class="actividades_2_v" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #38761d;">"LAS MATEMATICAS SON FACILES SOLO PRONPONTE A TI MISMO PODER REALIZARLAS Y CREARLAS"</span></b></div>
<div class="actividades_2_v" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="actividades_2_v" style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>Josué Muñoz http://www.blogger.com/profile/16883797755681257525noreply@blogger.com5Melchor Ocampo, ZAC, México23.634501 -102.5527848.8744095 -122.767628 38.3945925 -82.33794